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Thread: 430

  1. #1
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    430

    wer hat eine idee??

    ist denn zb die Z4 mit der S4 isomorph?

    grüße
    ines

  2. #2

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    Post Was meint Ihr?

    Angabe: Man bestimme eine zu <Zn,+>isomorphe Permutationsgruppe

    Ich habe zuerst die Suche auf Z3 und Z4 beschränkt und daraus eine allgemein gültige isomorphe Permutationsgruppe abgeleitet.

    z.B.: Z3 = {0,1,2}

    nun sucht man sich eine zykliche Untergruppe von S3 (also Sn allgemein). Diese Untergruppe muss die selbe Anzahl an Elementen besitzen wie Z3, also 3 Stück => Das Element aus S3 (aus dem die Untergruppe entsteht) muss die Ordnung 3 haben:
    O(p)=3 für alle p aus S3 (allgemein: O(p)=n für alle p aus Sn)

    Ein solches Element wäre z.B.: (132)
    => die Untergruppe besteht aus den Elementen :
    {id, (132) , (123) } wobei id für die Identische abbildung steht, also (1)(2)(3).

    Wenn man die Isomorphibedingungen nun überprüft, erkennt man, dass es sich wirklich um eine isomorphe Permutationsgruppe handelt.

    Nun zur Verallgemeinerung:

    Wir nehmen ein Element aus Sn heraus, dass die Ordnung n besitzt, z.B.: (1 n n-1 n-2 .... 3 2)
    also für n=4 (1 4 3 2)
    für n=5 (1 5 4 3 2) usw.

    aus diesem Element erhält man dann eine isomorphe Permutationsgruppe!!!

  3. #3
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    allgemein sind zyklische Gruppen derselben Ordnung zueinander isomorph, also sollte es eigentlich kein Problem sein was zu finden.

    Oliver
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  4. #4
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    ??

    welche gruppen prüft ihr??
    ich meinte: ist <Z4, +> zu <S4, o> isomorph (o ... hintereinanderausführung von abbildungen).

    meiner meinung nach ist eine untergruppe der Z4 nicht zyklisch. zb. {1234, 3412, 2143, 4321} ist nicht zyklisch. diese ist auch nicht isomorph zu Z4.
    oder hab ich bloß eine falsche erwischt??

    grüße
    ines
    Last edited by catwoman; 07-04-2002 at 19:46.

  5. #5
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    Re: Was meint Ihr?

    Original geschrieben von Seg

    z.B.: Z3 = {0,1,2}

    Ein solches Element wäre z.B.: (132)
    => die Untergruppe besteht aus den Elementen :
    {id, (132) , (123) } wobei id für die Identische abbildung steht, also (1)(2)(3).
    welche elemente hat deine untergruppe nochmal?? wenn ich mir das so anschaue, wären das {123, 132, 123}. womit aber 1 element doppelt vorkommt, was nicht richtig wäre.
    {123, 132} ergeben alleine bereits eine untergruppe der S3.

    es gibt nur eine (1) untergruppe der S3 mit 3 elementen & das ist {123, 231, 312}. diese untergruppe ist zyklisch.

    bei der S4 schaut das anders aus, oder??

    grüße
    ines

  6. #6
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    Re: Was meint Ihr?

    Original geschrieben von Seg
    ... für n=5 (1 5 4 3 2) usw.

    aus diesem Element erhält man dann eine isomorphe Permutationsgruppe!!!
    welche elemente würdest du bei n=5 also nehmen??
    auf jeden fall mal 12345 & 15432, oder?? wenn ich aber 15432 o 15432 ausrechne, kommt 12345 'raus.
    also sind die 2 elemente bereits eine abgeschlossene untergruppe.
    für Z5 sind das also zu wenige elemente, ich bräuchte ja 5.

    oder verstehe ich da was falsch??

    grüße
    ines
    Last edited by catwoman; 07-04-2002 at 19:56.

  7. #7
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    ha!

    Original geschrieben von Seg
    Nun zur Verallgemeinerung:

    Wir nehmen ein Element aus Sn heraus, dass die Ordnung n besitzt, z.B.: (1 n n-1 n-2 .... 3 2)
    also für n=4 (1 4 3 2)
    für n=5 (1 5 4 3 2) usw.

    aus diesem Element erhält man dann eine isomorphe Permutationsgruppe!!!
    jetzt hab ichs! die anzahl der elemente von Sn ist ja ziemlich wurscht.

    also (1 n n-1 ... 3) & identische abbildung sind isomorph zu Zn.

    danke!!
    grüße
    ines

  8. #8

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    RE:RE Was meint Ihr

    Re: Was meint Ihr?
    welche elemente hat deine untergruppe nochmal?? wenn ich mir das so anschaue, wären das {123, 132, 123}. womit aber 1 element doppelt vorkommt, was nicht richtig wäre.
    {123, 132} ergeben alleine bereits eine untergruppe der S3.

    es gibt nur eine (1) untergruppe der S3 mit 3 elementen & das ist {123, 231, 312}. diese untergruppe ist zyklisch.

    bei der S4 schaut das anders aus, oder??

    grüße
    ines
    Es ist nicht ganz so gemeint!

    Nehmen wir nocheinmal das Grundelement zur Hand: (132)
    dies bedeutet: 1 geht über in 3, 2 geht über in 1, und 3 geht über in 2
    leider kann ich dieses Element nicht so gut untereinader aufschreiben, aber ich ver such es mal (Die Klammern übereinander gehören dann durchgezogen)
    (1 2 3)
    (3 1 2)

    Wenn wir nun dieses Element mit 2 potenzieren, also dieses Element mit sich selbst verknüpfen bekommen wir:
    1->3->2; 2->1->3; 3->2->1 womit wir bekommen:
    (1 2 3)
    (2 3 1) Zyklisch geschrieben: (1 2 3)

    Damit haben wir das 2 Element der Untergruppe!

    Um nun das letzte Element der Untergruppe zu bekommen (es muss ich um die identische handeln) potenzieren wir unser gewähltes Element mit 3, das heißt wir verknüpfen (132) mit (132) und dann noch einmal mit (132). Da wir schon die erste Verknüpfung durchgeführt haben, nehmen wir das ergebnis und verknüpfen dieses einfach mit (132)
    (1 2 3) (1 2 3)
    (3 1 2) ring (2 3 1) 1->2->1; 2->3->2; 3->1->3 =>

    (1 2 3)
    (1 2 3) also die identisch. zyklisch geschrieben (1)(2)(3) also 1 geht über in 1, 2 geht über in 2, 3 geht über in 3.

    Somit haben wir alle 3 Element (es kann nicht mehr Elemente geben, da sich bei weiterm fortsetzen des potenzierens des Basiselements immer wieder die gleichen Elemente entstehen)
    {(1)(2)(3),(132),(123)}

  9. #9
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    elemente

    ok, bei n = 3 sind es 3 elemente aus S3.
    wie viele elemente sind es dann bei n = 4 oder n = 5??

    wenn ich die von dir vorgeschlagenen permutationen nehme, komme ich immer auf 2 elemente.
    zb:
    (1 2 3 4 5), (1 2 3 4 5)
    (1 2 3 4 5), (1 5 4 3 2)


    hab ich das richtig verstanden??

    danke & grüße
    ines

  10. #10

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    nicht ganz. Es handelt sich nicht um die normal Schreibweise, wenn ich von (1 5 4 3 2) spreche:
    Dieses Element ist wieder in zyklischer Schreibweise aufgezeichnet und hat folgende Bedeutung:
    1 geht über in 5; 5 geht über in 4; 4 geht über in 3; 3 geht über in 2; 2 geht über in 1
    also pi=
    (1 2 3 4 5)
    (5 1 2 3 4)
    Beim Potenzieren entstehen dann folgende Objekte:
    pi^2=
    (1 2 3 4 5)
    (4 5 1 2 3) entspricht in zyklischer Schreibweise (1 4 2 5 3)
    pi^3=
    (1 2 3 4 5)
    (3 4 5 1 2) entspricht in zyklischer Schreibweise (1 3 5 2 4)
    pi^4=
    (1 2 3 4 5)
    (2 3 4 5 1) entspricht in zyklischer Schreibweise (1 2 3 4 5)
    pi^5=
    (1 2 3 4 5)
    (1 2 3 4 5) entspricht in zyklischer Schreibweise (1) (2) (3) (4) (5)

    5 Element (inklusive identische Abbildung) = 5 Elemente in der Menge Z5

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