Bsp. 427
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Thread: Bsp. 427

  1. #1

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    Bsp. 427

    Es sind insgesamt 14 Felder zu erreichen, 7 davon von unten und 7 von links. Wie man das aufteilen kann, sagt 14 über 7 = 3432.

  2. #2
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    Question

    du meinst eine kombination ohne wiederholung, oder??
    ohne wiederholung ist gut, ja.

    warum nicht variation?
    kombination ist "plätze/reihenfolge egal", also nur klasseneinteilung. also xab = axb. beim ziehen mit dem turm ist das meiner meinung aber nicht gleich. daraus würde folgen, daß es eine variation ist.

    ??

    grüße
    ines

  3. #3

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    um das noch mal zu erklären, was ich meine:
    ich muß insgesamt 14 einzelne züge machen, 7 senkrecht, 7 waagrecht. ich könnte bspw. zuerst 7 senkrechte züge machen, dann 7 waagrechte. oder erst 1 senkrechten, dann 1 waagrechten, dann wieder 1 senkrechten usw.. d.h., daß ich aus den 14 zügen 7 auswählen muß, die senkrecht sind. das kann ich auf 14 über 7 arten machen (wie ich 6 zahlen aus 45 auf 45 über 6 arten auswählen kann).

  4. #4
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    Original geschrieben von Aasgeier
    ... d.h., daß ich aus den 14 zügen 7 auswählen muß, die senkrecht sind. das kann ich auf 14 über 7 arten machen (wie ich 6 zahlen aus 45 auf 45 über 6 arten auswählen kann).
    ja, schon klar. ich meine aber, daß das beispiel 6 aus 45 hier nicht richtig ist, weil es bei 6 aus 45 egal ist, in welcher "reihenfolge" du die zahlen ankreuzt.
    das, was ich vorher schon schrieb: bei 6 aus 45 ist 1,2,3,4,5,6 = 6,5,4,3,2,1 (usw).
    das ist beim turm-beispiel nicht so. weil 7 rechts, 7 nach oben ist nicht das gleiche wie 7 nach oben, 7 rechts.

    grüße
    ines

  5. #5

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    Ich komme auf 4096 Möglichkeiten. Bin dabei so vorgegangen:

    a) Anzahl der Möglichkeiten, nach oben zu gehen:

    mit 7 Sprüngen: 1 Möglichkeit
    mit 6 Sprüngen: 6 Möglichkeiten
    mit 5 Sprüngen: 15 Möglichkeiten
    mit 4 Sprüngen: 20 Möglichkeiten
    mit 3 Sprüngen: 15 Möglichkeiten
    mit 2 Sprüngen: 6 Möglichkeiten
    mit 1 Sprung: 1 Möglichkeit

    ...ergibt in Summe 64 Möglichkeiten.

    zu jedem dieser 64 Möglichkeiten existieren 64 weitere Möglichkeiten, nach rechts zu gehen

    => 64*64 Möglichkeiten = 4096 Möglichkeiten.

  6. #6
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    permutation

    es könnte eine permutation mit multimengen sein.
    ich habe 14 züge zur auswahl. davon muß ich 7 wählen, die nach oben gehen & 7, die nach rechts gehen.
    ergibt die formel 14! / ( 7! * 7!) .
    das ergibt als ergebis (zufällig?) auch 3432.

    grüße
    ines

  7. #7

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    das kommt daher, da 14 über 7 =

    14! / (14-7)! * 7! = 14! / 7! * 7!

    Immerhin sind das beides diesselben Gedanken, ich hab das Bsp. auch so gelöst und denke/hoffe, dass es so stimmt!

  8. #8

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    Multimenge hört sich gut an

    Bin auch der Meinung, dass es sich um eine Multimenge handelt:
    Wir haben eine Menge mit zwei Elementen, die die Züge nach rechts und oben darstellen z.B.: {r,o}. Jedes der beiden muss 8-1 Mal in einem Gesamtzugvorkommen, womit auch die gesamtanzahl an Zügen feststeht =8-1+8-1=14.

    Wir haben zu dieser spezielen Multimenge (Basismenge besteht aus zwei Elementen) in der Vorlesung noch eine Bemerkung gemacht und auf den Binomischen Lehrsatz verwiesen.

    Ich habe außerdem die Gesamtanzahl der Gesamtzüge abgezählt und bin auf das selbe ergebnis gekommen =3432

    Wen es interessiert:
    Es geht ganz einfach und dauert nicht einmal lange. Man zeichnet sich die 8 mal 8 Felder auf und schreibt in jedes Feld die Anzahl der möglichen Gesamtzüge beginnend mit einen Schritt nach rechts!
    Man beginnt rechts oben (zielpunkt) (Feld[8,8]) zu zählen.
    In die äußerst rechte Spalte kommen nur 0 hinein, da von diesen Feldern nicht mit einem Schritt nach rechts begonnen werden kann (da es keine rechtsliegenden Felder gibt).
    Somit gilt : Feld [8,8] bis Feld [1,8]=0;
    Für die oberste Zeile bis auf das Feld [8,8] kann es für jedes Feld nur eine Möglichkeit geben zum Ziel zu kommen, da diese immer nur einen Schritt nach rechts machen können:
    somit gilt :Feld [8,1] bis Feld [8,7] =1
    Für die Spalte 7 gibt es für jedes Feld auch nur eine Möglichkeit zum Ziel zu kommen : einen Schritt nach rechts (voraussetzung des Zählens) und dann nur noch nach oben (da es keine rechten Felder mehr gibt)
    somit gilt :Feld [7,7] bis Feld [1,7] =1

    Ich werde jetzt ein paar Felder einzeln durchgehen und dann eine Formel für die restlichen aufstellen. Dabei verwende ich ein ein Tupel mit r für einen Schritt recht und o für einen Schritt links.

    Für Feld [7,6]:
    Wir haben folgende möglichkeiten zum Ziel zu kommen (mit einem Schritt nach rechts beginnend)
    (r,o,r) und (r,r,o) => Anzahl 2

    Für Feld [6,6]:
    (r,o,o,r) und (r,o,r,o) und (r,r,o,o) => Anzahl 3

    Für Feld [5,6] = 4
    Für Feld [4,6] = 5
    Für Feld [3,6] = 6
    Für Feld [2,6] = 7
    Für Feld [1,6] = 8

    Für Feld [7,5] = 3
    Für Feld [6,5] = 6
    Für Feld [7,5] = 10

    Wenn man sich das Schachbrett aufzeichnet, dann erkennt man das die Anzahl der Zugmöglichkeiten eines jeden Feldes gleich die Summe der Zugmöglichkeiten des darüberliegenden und des rechtsstehenden Feldes ist
    in einer Formel: Feld [x,y] = Feld [x+1,y] + Feld [x,y+1]

    Man kommt auf die Gesamtzügeanzahl, indem man die Werte in der äußerst linken Spalte (Felder [8,1] bis [1,1]) zusammenzählt.

    Schön zu erkennen ist das Pascalische Dreieck mit der Spitze im Feld [8,7]

    Ich hoffe, ich habe euch damit nicht zu sehr verwirrt, einfach mal aufzeichnen und selber ausprobieren!!

  9. #9

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    @ Neo

    ich habe das ganze auch so gelöst!
    aber irgendwie scheinen wir die einzigen sein, die diesen gedanken für richtig halten!

    hast du das mit einer formel gelöst, oder auch einfach nur durch probieren?

  10. #10
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    Ich hab mir mal eure Posts durchgelesen und die Lösungen gefallen mir.

    Aber habt ihr auch überlegt, dass der Turm mal 1 Schritt gehen kann und ein andermal 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 oder 7 Schritte gehen kann, je nachdem.

    Bin mir nicht sicher ob meine Überlegungen in eure Berechnungen bereits involviert sind.


    @neo
    deine überlegungen sind am besten nachvollziehbar und auch irgendwie logisch, da man auch verschieden lange sprünge mit einem turm tätigen kann.

    grüsse soronin.
    Last edited by Ronin; 10-04-2002 at 23:11.

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