Beispiel 12
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Thread: Beispiel 12

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
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    Beispiel 12

    Man untersuche die Funktion f:R^2->R auf Stetigkeit (Hinweis: a+b >= 2 * Wurzel ab für a,b>=0): f(x,y)=xy^2+x^2y / x^2+y^2

  2. #2
    lj_scampo's Avatar
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    Lightbulb lösungsvorschlag

    dieses bsp sollte mittels umwandlung in polarkoordinaten zu loesen sein.
    aber zunaechst den einfachen teil:
    f(x,y) ist stetig in R²\{(0,0)} da f eine komposition von stetigen funktionen ist (nenner kann auch nicht 0 werden, solange nicht x=y=0)

    nun die stetigkeit im punkt (0,0):
    mit <FONT FACE=Symbol>r</FONT> = <FONT FACE=Symbol>&#214;</FONT>(x&sup2;+y&sup2;) und sin(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>) = y&#47;<FONT FACE=Symbol>r</FONT>
    werden y = <FONT FACE=Symbol>r</FONT>&middot;sin(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>) und x = <FONT FACE=Symbol>r</FONT>&middot;cos(x)

    jetzt setzt man das ein und laesst <FONT FACE=Symbol>r</FONT> gegen 0 gehen:
    lim[<FONT FACE=Symbol>r</FONT><FONT FACE=Symbol>&#174;</FONT>0] [<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&middot;cos(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)&middot;<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&sup2;sin&sup2;(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)+<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&sup2;&middot;cos&sup2;(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)&middot;<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&middot;sin(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)] &#47; [<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&sup2;&middot;cos&sup2;(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)+<FONT FACE=Symbol>r</FONT>&sup2;&middot;sin&sup2;(<FONT FACE=Symbol>j</FONT>)] = ... (<FONT FACE=Symbol>r</FONT> herausheben, durchkuerzen) ... = 0
    <FONT FACE=Symbol>&#222;</FONT>f(x,y) ist stetig in (0,0), da f(0,0) = lim[(x,y)<FONT FACE=Symbol>&#174;</FONT>(0,0)]f(x,y).

  3. #3
    -z0nk-'s Avatar
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    ist das hier überhaupt nötig ?

    man sieht doch auf einen blick, dass der lim f(x,y) für (x,y)-->(0,0) immer 0 ist, da der zähler auf jeden fall null wird (egal von welcher richtung man sich dem punkt (0,0) nähert).

    mfg,
    -z0nk-
    zonked [zpnkt] - if someone is zonked or zonked out, they are not capable of doing anything because they are tired, drunk, or drugged; an informal word.

  4. #4
    lj_scampo's Avatar
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    @zOnk

    naja, leider auch der nenner -> division durch null..

  5. #5

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    Man untersuche die Funktion f:R^2->R auf Stetigkeit (Hinweis: a+b >= 2 * Wurzel ab für a,b>=0): f(x,y)=xy^2+x^2y / x^2+y^2

    a+b >= 2 sqrt(ab) ->
    x²+y² >= 2 sqrt(x²y²)= 2xy

    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

    ginge so doch auch oder hab i was vergessen?

    mfg
    Roli
    Last edited by Roli; 09-05-2002 at 14:24.

  6. #6
    bluefoxx's Avatar
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    @Roli:

    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

    gehört da nicht >= statt <= ?

    oder irre ich mich?

    mfg bFXx

  7. #7

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    @bluefoxx:

    wenn a>=b und 1/a = x dann ist 1/b >= x

    Begründung:
    a>=b -> 1/a <= 1/b -> x=1/a <= 1/b -> 1/b >= x

    mfg
    Roli
    Sex (female) is: grep; touch; unzip; touch; gasp; finger; gasp; mount; fsck; more; yes; gasp; umount; make clean; make mrproper

    Sex (male) is: grep; touch; strip; unzip; head; mount /dev/girl -t wet; fsck; fsck; yes; yes; yes; umount /dev/girl; zip; sleep or good

  8. #8
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    dankeeeee!! gecheckt...

    mfg bFXx

  9. #9

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    hi

    auf den 2. blick gehts auch einfacher - war mal wieder ganz blind *ggg*

    a >= b -> 1/a <= 1/b
    müßte ja auch genügen

    Roli
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  10. #10
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    Meine Lösung

    lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

    lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0

    => überall stetig

  11. #11
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    @Roli

    Obwohl es logisch klingt:
    Darf man einfach annehmen, dass

    lim [(x,y)->(0,0)] f(x,y) <= lim [(x,y)->(0,0)] g(x,y)

    wenn gilt: f(x,y) <= g(x,y) ?

  12. #12
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    @roli
    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0
    ich versteh den beweis net ganz.du hast doch gezeigt das das kleiner gleich 0 ist.das heist doch auch dass die funktion zb.gegen -1 gehen könnte und dann wär sie nicht konvergent.oder sthe ich grad auf der leitung?
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  13. #13

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    Original geschrieben von Shade
    @roli

    ich versteh den beweis net ganz.du hast doch gezeigt das das kleiner gleich 0 ist.das heist doch auch dass die funktion zb.gegen -1 gehen könnte und dann wär sie nicht konvergent.oder sthe ich grad auf der leitung?
    hmm ne hast schon recht - man müßte wahrscheinlich 2 fälle betrachten:
    1. für (xy²+x²y)>0
    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) <= 0

    2. für (xy²+x²y)<0
    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(2xy) = lim[x,y->0] (y/2+x/2) = 0+0 = 0

    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= 0

    aus 1. & 2.:
    0 >= lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) >= 0

    lim[x,y->0] (xy²+x²y)/(x²+y²) = 0

    i hoff diesmal hab i nichts vergessen

    würd aber ehrlich gesagt auch die Polardarstellung empfehlen - war auch mein erster Ansatz und hab erst dann den hinweis gesehen

    mfg Roli
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  14. #14
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    aber wenn xy²+x²y<0 ist dann muß doch xoder y < 0 sein.das schliest die bedingung (a,b=>0) doch aus oder?stimmt eigrntlich der ansetzt von robby?der wär am einfachsten.
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  15. #15

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    Original geschrieben von Shade
    aber wenn xy²+x²y<0 ist dann muß doch xoder y < 0 sein.das schliest die bedingung (a,b=>0) doch aus oder?stimmt eigrntlich der ansetzt von robby?der wär am einfachsten.
    nein wird nicht ausgeschlossen:
    bei uns wäre a=x² und b=y² und somit ist a,b>0 für alle x,y element von R

    tja ich glaub du meinste den ansatz mit der polardarstellung oder?
    ja der stimmt (meines erachtens)

    mfg
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  16. #16
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    bin auch grad draufgekommen.
    aber ich mein den ansatz:
    lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

    lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0
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  17. #17

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    Original geschrieben von Shade
    bin auch grad draufgekommen.
    aber ich mein den ansatz:
    lim x->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim x->0 0+0/0+y^2 => 0

    lim y->0 xy^2+x^2y/x^2+y^2 = lim y->0 0+0/x^2+0 => 0
    hmm denk schon, daß er stimmt - sicher bin ich mir aber nicht
    ist ähnlich der partiellen ableitung

    ehrlich gesagt, würd wirklich die polardarstellung empfehlen, da kann man nichts falsch machen und es kann auch nicht dazu kommen, daß man es nicht schlüssig erklären kann.

    naja beim urbanek is es sicher kein problem oder?

    Roli
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  18. #18
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    hab den urbanek nicht mehr.
    aber ich denk das >= kann man auch so erklären das man sag es gibt einen faktor K mit dem x²+y²=2kx+2ky
    aber das würd nix ändern denn:
    x/2k+y/2k =0
    ist zwar nicht mthemtisch zeigt aber das man sich gedanken gemacht hat
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  19. #19

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    Original geschrieben von Shade
    aber ich denk das >= kann man auch so erklären das man sag es gibt einen faktor K mit dem x²+y²=2kx+2ky
    aber das würd nix ändern denn:
    x/2k+y/2k =0
    versteh grad nicht was du schreibst - um ehrlich zu sein

    Roli
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  20. #20
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    es heisst ja
    x²+y²>=2xy
    und meiner meinung könnte man die durch eine variable k ersetzten so dass die bedingung
    x²+y²=kxy erfüllt ist.
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  21. #21

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    Original geschrieben von Shade
    es heisst ja
    x²+y²>=2xy
    und meiner meinung könnte man die durch eine variable k ersetzten so dass die bedingung
    x²+y²=kxy erfüllt ist.
    ok - versteh jetzt was du meinst
    ich glaub aber, daß k von den Werten, die x und y annehmen abhängig ist:
    z.b x=1, y=1
    1²+1² = k*1*1 -> k=2
    z.b x=2, y=1
    2²+1² = k*2*1 -> 5=2k -> k=2,5

    das problem liegt nun darin, daß k eine funktion von x und y ist und somit wenn man x gegen null gehen läßt, verändert sich auch k und somit wieder nicht trivial bestimmbar ist.

    mfg
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  22. #22
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    ich weiss.
    aber dieses k würde ja dann im nenner stehen:
    x/k+y/k egal wie groß k ist es würde ja bei xy->00
    beim ergebniss null bleiben.und k kann nicht null sein,da k min. >=2 sein muß.
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  23. #23

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    ok verstanden - klingt logisch die erklärung

    mfg
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