Beispiel 1
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Thread: Beispiel 1

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
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    Beispiel 1

    Seien (xk), (yk) Folgen aus R^n mit lim k->unendlich xk=a, lim k->unendlich yk=b, (a,b element R^n). Man zeige: (xk+yk) ist konvergent und es gilt lim k->unendlich (xk+yk)=a+b!
    Last edited by djbiohazard; 06-05-2002 at 14:51.

  2. #2

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    für alle eps>0 und k>=K(eps):
    |Xk-A|<eps, |Yk-B|<eps =>
    |(Xk-A)+(Yk-B)|<eps => |(Xk+Yk)-(A+B)|<eps
    => lim k>unendl. (Xk+Yk)=A+B

    Reicht das?

  3. #3

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    (eps > 0)
    an -> a , d.h. es gibt ein eps/2 > 0 und ein N1 el. N, so dass gilt |an - a| < eps/2 (n >= N1)
    bn -> b, d.h. es gibt ein eps/2 > 0 und ein N2 el. N, so dass gilt |bn - b| < eps/2 für n >= N2

    für alle n > N = max(N1,N2) gilt: |an+bn - (a+b)| = |an-a+bn-b| <= |an-a| + |bn-b| < eps/2 + eps/2 = eps ---> und das ist ja die Bedingung für die Konvergenz.

  4. #4
    bluefoxx's Avatar
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    ist das bsp eigentlich nicht ganz trivial?

    laut rechenregeln mit grenzwerten gilt doch:

    Folge a(n) hat als Grenzwert a (n gegen unendlich)
    Folge b(n) hat als Grenzwert b (n gegen unendlich)

    und

    aus Folge a(n) + Folge b(n) --> a + b

    und konvergenz mittels CAUCHY zeigen,...

    "Die Folge a(n) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem eps > 0 ein n(0) aus N gibt, sodass f.a. n,m >= n(0) gilt :
    |a(n)-a(m)| kleiner als epsilon "

    somit ist das bsp ja schon gelöst, oder ist das kompletter mist?

    mfg bFXx
    Last edited by bluefoxx; 06-05-2002 at 12:03.

  5. #5

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    Laut Skriptum kann man ja die Konvergenz von Folgen in R^n auf die Konvergenz von Komponentenfolgen (Folgen in R) zurückführen. (S. 59) Das für 2 Folgen in R die Behauptung gilt haben wir ja schon im vorherigen Semester bewiesen (lim f(n) = a und lim g(n) = b =>
    lim (f(n)+g(n)) = a+b für n gegen unendl.) Stimmt, bzw. würde das reichen?? Was denkt ihr?

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