Beispiel 411
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Thread: Beispiel 411

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
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    Beispiel 411

    Angabe: Berechnen Sie die Summe (n element N)

    Summe i,j,k>=0 n<=i+j+k<=n+2 (-1)^k/i!*j!*k!

    Lösung: Summe j=0 bis n+1 * Summe j=n-i bis n+2-i * Summe k=n-i-j bis n+2-i-j (-1)^k/i!*j!*k! = Summe j=0 bis n+2 * Summe j=n-i bis n+2-i ((-1)^n-i-j/i!*j!*(n-i-j)! + (-1)^n-i-j+1/i!*j!*(n-i-j+1)! + (-1)^n-i-j+2/i!*j!*(n-i-j+2)!) = Summe j=0 bis n+2 * Summe j=n-i bis n+2-i (-1)^n-i-j * (n-i-j+1) * (n-i-j+2) + (-1)n-i-2 * (n-i-j+2) + (-1)^n-i-j+2 / i!*j!*(n-i-j+2)!

    Hier weiß ich auch leider nicht weiter!

  2. #2
    MarvinTheRobot's Avatar
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    ich kann nicht mehr dazu sagen als dass am ende genau 0 rauskommt. zumindest laut einem netten Mathetutor. ;-)

    wenn ich mal den nerv dazu hab tipp ich die eine A4 seite ab...

    mfg, Phil.

    Nachtrag:

    Das ding kann man in 3 teile teilen (sag ma: A,B und C)

    je teil sieht das so aus

    Summe i=0 bis n Summe j=0 bis n-i (-1)^n-i-j * 1/n! * n!/i!(n-i!) * (n-i)! / j!(n-i-j)! * (n-i-j)!/(n-i-j)!


    so nun: ist offensichtlich dass n!/i!(n-i!) gleich n über i ist
    (n-i)! / j!(n-i-j)! n-i über j ist und (n-i-j)!/(n-i-j)! gleich 1


    das heisst: (1/n! Summe i=0 bis n n über i) * (Summe j=0 bis n-i n-i über j * (-1)^n-i-j *1^j) (das j kann man ja dazuschreiben, is ja wurscht, weil eh 1 unten steht...)



    Summe j=0 bis n-i n-i über j * (-1)^n-i-j *1^j

    das ist der binomische lehrsatz... ;-)

    Summe k=0 bis n a^n-k * b^k und das ist dasselbe wie (a+b)^n

    also ist vom teil A 1/n! Summe i=0 bis n n über i * [(1)+1]^n-i

    und das ist wohl eindeutig 0


    genauso gehts mit teil B und C da sich ja nur das n über dem summenzeichen ändert.

    also ist 0+0+0 gleich 0. ICH LIEBE SOLCHE BEISPIELE!

    wenns zu verwirrend ist, scan ich gern meine mitschrift ein, ich hoff nur ihr könnt es lesen..

    Thx an den netten Mathe TUTOR! ;-)
    Last edited by MarvinTheRobot; 26-04-2002 at 00:19.
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  3. #3

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    ich komm auf:
    1(n!)+1/(n+1)!+1/(n+2)!
    aber ich weiß nicht, ob's stimmt

    wenn man z.B. n=1 in die Angabe einsetzt, kommt nicht 0 raus, sondern 5/3, was mit meiner Formel übereinstimmt.
    Oder hab ich mich geirrt?
    Code:
    n=1:
    
    für i+j+k=n=1:
    
    i,j,k    Summand
    1,0,0     1
    0,1,0     1
    0,0,1     -1
    
    für i+j+k=n+1=2:
    
    i,j,k    Summand
    2,0,0    1/2
    0,2,0    1/2
    0,0,2    1/2
    1,1,0     1
    1,0,1    -1
    0,1,1    -1
    
    für i+j+k=n+2=3:
    
    i,j,k    Summand
    3,0,0    1/6
    0,3,0    1/6
    0,0,3    -1/6
    2,1,0    1/2
    1,2,0    1/2
    0,1,2    1/2
    1,0,2    1/2
    0,2,1    -1/2
    2,0,1    -1/2
    1,1,1    -1
    wenn man alle diese Summanden addiert, kommt eben 5/3 raus
    Last edited by Dimitrij; 28-04-2002 at 20:50.

  4. #4
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    kann mal bitte jemand erklären, was diese summe überhaupt bedeutet.
    ich seh so eine summe mit so ´nem schas drunter zum ersten mal

    mfg, -z0nk-

  5. #5

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    @Dimitrij: ich hab mir jetzt den Beweis von MarvinTheRobot angeschaut, und die Rechenschritte sind, denke ich mal, korrekt, es wird ja eigentlich eh dauernd nur um 1 in verschiedenen Darstellungsweisen erweitert bzw. Konstanten aus der Summe rausgeschrieben, das dürfte also stimmen...

    Könnte also nur noch seine Interpretation der Summe falsch sind, aber das ist sie auch nicht!! Ich hab ein kurzes Perl Skript geschrieben, das die Werte für i, j, k so ausgibt, wie es seine geschachtelte Summe tut, und auch da stimmen die Werte aber 100%!

    Also bin ich mir fast sicher, dass sich bei dir irgendwo ein Rechenfehler eingeschlichen hat, denn der Beweis ist meiner Meinung nach richtig, und "formaler Beweis" kommt in der Mathe-hierarchie vor "Ausrechnen", Scherzal

    Hier noch der Output vom Perlskript, und das sind alle Werte!!

    0 0 1
    0 1 0
    1 0 0

    0 0 2
    0 1 1
    0 2 0
    1 0 1
    1 1 0
    2 0 0

    0 0 3
    0 1 2
    0 2 1
    0 3 0
    1 0 2
    1 1 1
    1 2 0
    2 0 1
    2 1 0
    3 0 0

  6. #6

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    das sind ja genau die Werte, die ich eingesetzt hab, aber vielleicht hab ich mich beim Einsetzen geirrt.
    meine Formel beruht übrigens auf dem polynomischen Lehrsatz.

    Bitte berichtet, was die richtige Lösung war.
    Ich hab erst am Dienstag die Übung.

  7. #7

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    falsch.
    rauskommen tut:
    1/n! + 1/(n+1)! + 1/(n+2)!

  8. #8
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    Also laut Gittenberger kommt 0 raus....
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  9. #9

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    ... und was war beim Urbanek die richtige Lösung?

  10. #10

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    urbanek sagt: 1/n! + 1/(n+1)! + 1/(n+2)!

    und auch mit dem polynomischen lehrsatz gerechnet...
    hi, i'm a signature virus. copy me into your signature to help me spread.

  11. #11

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    Original geschrieben von Chris
    urbanek sagt: 1/n! + 1/(n+1)! + 1/(n+2)!

    und auch mit dem polynomischen lehrsatz gerechnet...
    juhu!
    Danke.

  12. #12

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    ja der drmota hat das auch gesagt... anscheinend kennt sich der gittenberger nicht aus ;-)

  13. #13

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    naja, der Gittenberger ist auch nur ein Mensch, und Irren ist menschlich

  14. #14

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    sorry Dimitrij, mein Fehler!

    Ich weiß auch schon, was am Beweis, wie ihn mir MarvinTheRobot geemailt hat, falsch ist, und zwar:

    es gibt in seinem Beweis, dass insgesamt 0 rauskommt, einen Spezialfall, wo man dann nach dem Binomischen Lehrsatz 0^0 berechnen würde, was, wie dann angenommen wird, auch 0 sein sollte...
    ist es aber nicht: ich hab in einem fetten Mathewälzer nachgeschlagen, und da heißt es, JEDE reelle Zahl hoch 0 ist per Def. 1, also gilt 0^0 = 1
    Deshalb sind alle Folgengliedern in den 3 Folgen, mit denen dieser Beweis ganz oben anfängt, 0, bis eben auf das Letzte, was 1 ist, weshalb da dann die vorgeschriebene Konstante 1/n! nicht wegfällt...

    btw: das macht jetzt vermutlich nur für die Sinn, die MarvinTheRobot's Beweis gesehen haben (in diesem Fall i=n in die letzte Zeile einsetzen). Jedenfalls hatte Dimitrij recht!!

    --

    Aber sich mit Dingen wie 0^0 herumschlagen, das sollten eher solche Mathephilosophen tun müssen, und nicht wir

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